Задача 108616

Темы:    [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Четырехугольники (прочее) ] [ Подобные фигуры ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Из вершин произвольного выпуклого четырёхугольника опущены перпендикуляры на его диагонали.
Докажите, что четырёхугольник, вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, подобен исходному.

Решение

  Пусть O – точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD, A₁, B₁, C₁ и D₁ – основания перпендикуляров, опущенных из вершин соответственно A, B,C и D на диагонали, не проходящие через эти вершины. Поскольку AA₁ и BB₁ – высоты треугольника AOB, то треугольник AOB подобен треугольнику A₁OB₁. Аналогично треугольник BOC подобен треугольнику B₁OC₁. При этом коэффициенты подобия в обоих случаях равны ^OB/_OB1. Поскольку  ∠B₁A₁C₁ = ∠BAC  и  ∠A₁C₁B₁ = ∠ACB,  то треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны по двум углам.
  Аналогично подобны треугольники BCD и B₁C₁D₁. Коэффициенты подобия у этих двух пар равны из-за наличия общей пары сходственных сторон. Следовательно, и четырёхугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁ подобны.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4432