Задача 108659

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Точки K , L , M и N – середины сторон соответственно AB , BC , CD и DA вписанного четырёхугольника ABCD . Докажите, что ортоцентры треугольников AKN , BKL , CLM и DMN являются вершинами параллелограмма.

Решение

Пусть H_A , H_B , H_C и H_D – ортоцентры треугольников AKN , BKL , CLM и DMN соответственно, O – центр описанной окружности четырёхугольника ABCD . Поскольку OK AB и NH_A AB , то NH_A || OK . Аналогично, KH_A || ON . Значит, OKH_AN – параллелограмм, и NH_A = OK . Аналогично, LH_B || OK и LH_B=OK , поэтому H_AH_BLN – параллелограмм, и H_AH_B || LN и H_AH_B=LN . Точно так же докажем, что H_CH_D || LN и H_CH_D=LN . Следовательно, H_AH_BHСH_В – параллелограмм.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4485