Задача 108672

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Замечательное свойство трапеции ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Окружность, проходящая через вершины A и C треугольника ABC, пересекает сторону AB в её середине D, а сторону BC – в точке E. Окружность, проходящая через точку E и касающаяся в точке C прямой AC, пересекает прямую DE в точке F. K – точка пересечения прямых AC и DE.
Докажите, что прямые CF, AE и BK пересекаются в одной точке.

Решение

Из теоремы об угле между касательной и хордой  ∠CFE = ∠ACE, а так как четырёхугольник ADEC – вписанный, то  ∠BDE = ∠ACE = ∠CFE.  Значит,
CF || AB.  Пусть G – точка пересечения прямых CF и BK. Поскольку DK – медиана треугольника ABK и  CG || AB,  то  FG = CF.  Пусть G₁ – точка пересечения AE и CF. Аналогично FG₁ = CF.  Значит, точки G и G₁ совпадают.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4498