Условие
Точки E и F – середины сторон AB и AD параллелограмма ABCD, а отрезки CE и BF пересекаются в точке K. Точка M лежит на отрезке EC, причём BM || KD. Докажите, что площади треугольника KFD и трапеции KBMD равны.
Решение
Пусть прямая, проведённая через вершину D параллельно EC, пересекает прямую AB в точке N, а прямые DN и BF пересекаются в точке P. Тогда
EN = CD = AB = 2BE ⇒ BK : KP = BE : EN = 1 : 2.
Треугольник BKM подобен треугольнику KPD с коэффициентом
BK/KP = ½, а треугольник FPD – треугольнику BKC с коэффициентом FD/BC = ½, значит,
FP = ½ BK = ¼ KP, то есть FP = ⅓ KF. Поэтому SKFD = ¾ SKPD = 3SBKM.
С другой стороны, диагональ KD делит трапецию KBMD на треугольники, площади которых относятся как её основания, поэтому и SKBDM = 3SBKM.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6202 |
