Задача 108694

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Точки K и L – середины сторон AB и BC четырёхугольника ABCD. На стороне CD выбрана такая точка M, что  CM : DM = 2 : 1.  Известно, что  DK || BM  и
AL || CD.  Докажите, что четырёхугольник ABCD – трапеция.

Решение

Пусть   MD = a.  Тогда  CM = 2a,  а прямая AL пересекает отрезки DK и BM в точках P и Q соответственно. DPQM – параллелограмм, поэтому
PQ = DM = a,  а так как K – середина AB, то  AP = PQ = a.  Кроме того, LQ – средняя линия треугольника BCM, поэтому  QL = ½ CM = a.  Значит,
AL = 3a = CD.  Следовательно, ALCD – параллелограмм, а ABCD – трапеция.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6230