Задача 108836

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Свойства сечений ] [ Объем тела равен сумме объемов его частей ] [ Объем призмы ] [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Две плоскости, параллельные противоположным рёбрам AB и CD тетраэдра ABCD , делят ребро BC на три равные части. Какая часть объёма тетраэдра заключена между этими плоскостями?

Решение

Обозначим AB = a , CD=b , угол и расстояние между скрещивающимися прямыми AB и CD – α и h соответственно. Пусть точки M и N лежат на ребре BC , причём BM=MN=NC . Плоскость, проходящая через точку M параллельно прямым AB и CD , пересекает плоскости граней ABC и ADC по прямым, параллельным AB , а плоскости граней BDC и ADC – по прямым, параллельным CD . Значит, сечение тетраэдра этой плоскостью – параллелограмм MPQR (точки P , Q и R лежат на рёбрах BD , AD и AC соответственно), причём

PQ=MR=AB = a, PM=QR = CD = b.
Достроим многогранник BMPARQ до треугольной призмы BFKARQ , продолжив ребро QP за точку P на отрезок PK , равный a , а отрезок RM – на отрезок MF также равный a . Расстояние между боковым ребром AB полученной призмы до противоположной боковой грани FKQR равно трети расстояния между прямыми AB и CD , т.е. h . Значит, её объём равен
S_FKQR· h = a· b sin α · h = abh sin α · = V,
где V – объём данного тетраэдра. Заметим, что в результате достроения к многограннику BMPARQ добавилась четырёхугольная пирамида с вершиной B и основанием KPMF , объём которой равен
S_KPMF· = · S_FKQR · =V.
Значит, объём многогранника равен · V= V . Теперь заметим, что объём многогранника, отсечённого от данного тетраэдра второй указанной в условии плоскостью, также равен V . Следовательно, между плоскостями заключён многоранник, объём которого равен V-2· V = V .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7238