Задача 108895

Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  ∠B = ∠D,  а центр описанной окружности треугольника ABC, ортоцентр треугольника ADC и вершина B лежат на одной прямой. Докажите, что ABCD – параллелограмм.

Решение

  Предположим, что треугольник ADC – остроугольный. Пусть H – его ортоцентр, а O – центр описанной окружности Ω треугольника ABC. Тогда
∠AHC = 180° – ∠D = 180° – ∠B.  Значит, точка H лежит на Ω. Поскольку точки B, O и H лежат на одной прямой, BH – диаметр Ω. Поэтому  AH ⊥ AB,  а так как  AH ⊥ CD,  то  AB || CD.  Аналогично  BC || AD.
  Аналогично рассматриваются остальные случаи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6244