Задача 108916

Темы:    [ Площадь круга, сектора и сегмента ] [ Отношения площадей подобных фигур ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В круге проведены два перпендикулярных диаметра. Рассмотрим четыре круга, диаметрами которых служат четыре получившихся радиуса исходной окружности (рис.1). Докажите, что суммарная площадь попарно общих частей этих кругов равна площади части исходного круга, лежащей вне рассматриваемых четырёх кругов.

Решение

Достаточно доказать соответствующее утверждение для каждой из четырёх частей, на которые указанные диаметры разбивают исходный круг (рис.2). Рассмотрим в произвольном круге сегмент, отсекаемый хордой, стягивающей дугу в 90^o . Пусть S и s соответственно – площади таких сегментов для исходного и каждого из четырёх построенных кругов. Из подобия сегментов следует, что S=4s (коэффицинт подобия равен 2). Остаётся заметить, что площадь части с одинарной штриховкой равна S-2s = 2s , а площадь части с двойной штриховкой равна 2s .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6267