Условие
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает серединный перпендикуляр к стороне AB в точке X, серединный перпендикуляр к стороне AC – в точке Y, а описанную окружность треугольника – в точке Z. Точки A, X, Y и Z лежат на биссектрисе в порядке перечисления. Докажите, что AX = YZ.
Решение
Пусть указанные в условии серединные перпендикуляры пересекаются в центре O описанной окружности треугольника ABC. Перпендикуляр, опущенный из точки O на хорду AZ проходит через её середину P. Если M и N – середины сторон AB и AC соответственно, то
∠OXY = ∠AXM = 90° – ∠MAX = 90° – ½ ∠A, ∠OYX = ∠NYA = 90° – ∠NAY = 90° – ½∠A = ∠OXY. Значит, треугольник OXY – равнобедренный. Его высота OP является медианой, поэтому PX = PY, то есть P – середина XY. Следовательно, AX = AP – PX = ZP – PY = YZ.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6306 |
