Условие
На основании
BC треугольника
ABC найти точку
M так, чтобы
окружности, вписанные в треугольники
ABM и
AMC взаимно
касались.
Решение
Пусть искомая точка
M найдена. Точка касания окружностей,
вписанных в треугольники
ABM и
MAC , должна совпасть с точкой
касания круга
O1 , вписанного в треугольник
ABM , со стороной
AM и с точкой касания с той же стороной круга
O2 , вписанного в
треугольник
MAC , так как точка касания этих окружностей может
лежать лишь на стороне
AM (иначе окружности не будут вписанными в
соответствующие треугольники), а двух точек на стороне
AM ни одна
окружность, по условию, не имеет (рис.). Используя свойства
касательных к кругу, проведенных из одной точки, сумеем выразить
отрезок
BM через стороны треугольника, которые известны, поскольку
треугольник дан.
Обозначим стороны треугольника
a,b,c . Пусть точки касания
E,P,K,R,F; EA=AK (касательные из точки
A к кругу
O1 ),
AK=AF
(касательные к кругу
O2 из точки
A ), следовательно,
EA=FA .
Аналогично
PM=MK, MK=MR, PM=MR . Далее,
EB=BP (касательные к
кругу
O1 проведенные из точки
B ),
CF=CR . Обозначим
BE=BP=d,
EA=AF=e, FC=CR=f ,
RM=MP=g . Нам нужно выразить через стороны
треугольника отрезок
BM=BP+PM=d+g .
BA+CA+CB=a+b+c=BE+EA+AF+FC+CR+RM+MP+PB=d+e+e+f+f+g+g+d=2(d+e+f+g) .
Таким образом,
a+b+c=2(d+e+f+g) . Отсюда
BM=d+g=(a+b+c)/2-(e+f)=(a+b+c)/2-(AF+FC)=(a+b+c)/2-b=(a+c-b)/2 .
отрезок
BM теперь можно построить, а следовательно, и точку
M .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Белорусские республиканские математические олимпиады |
|
олимпиада |
|
Год |
1962 |
|
Номер |
12 |
|
Название |
12-я Белорусская республиканская математическая олимпиада |
|
Задача |
|
Название |
Задача 9.5 |
