Условие
Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно
провести плоскость, параллельную другой прямой, и притом только
одну.
Решение
Пусть
a и
b – скрещивающиеся прямые. Через произвольную точку
A прямой
a проведём прямую
b1
, параллельную прямой
b (рис.1). Прямые
a и
b1
не могут совпасть, т.к. в противном случае прямая
a была
бы параллельна прямой
b . Через пересекающиеся прямые
a и
b1
проведём
плоскость
β . Плоскость
β параллельна прямой
b , т.к. в плоскости
β лежит прямая
b1
, параллельная прямой
b .
Докажем, что построенная плоскость
β единственна. Пусть
плоскость
γ также проходит через прямую
a и параллельна прямой
b (рис.2).
Плоскости
β и
γ имеют общую прямую
a . Через произвольную точку
M
прямой
a и прямую
b проведём плоскость. Эта плоскость должна
пересечься с плоскостями
β и
γ по прямым, каждая из которых
параллельна прямой
b и поэтому отлична от прямой
a . Значит, эти
прямые совпадают. Таким образом, через две пересекающиеся прямые
проведены две плоскости
γ и
β . Следовательно, плоскость
γ
совпадает с плоскостью
β .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8139 |
