Задача 109084

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Параллелепипеды (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . На рёбрах AD , A1D1 и B1C1 взяты точки M , L и K соответственно, причём B1K = A1L , AM = A1L . Известно, что KL = 2 . Найдите длину отрезка, по которому плоскость KLM пересекает параллелограмм ABCD .

Решение

Пусть секущая плоскость пересекает прямую BC в точке N , а прямую AB – в точке P . По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей MN || KL . Обозначим A1L = 6a . Тогда B1K = 2a , AM = 3a . Через точки L и K проведём прямые, параллельные AA1 до пересечения с прямыми AD и BC в точках L' и K' соответственно. (точки L' и K' – параллельные проекции точек L и K на плоскость ABCD с проектирующей прямой AA1 ). Тогда

AL'= A1L = 6a, BK'= B1K = 2a, ML'= AL' - AM = 6a - 3a = 3a,

NK' = ML' = 3a, BN = NK'- BK' = 3a - 2a = a.
Из подобия треугольников BPN и APM находим, что
= = = .
Поэтому = . Следовательно,
PM = MN = K'L' = KL = · 2 = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8149