Условие
Доказать, что если в треугольной пирамиде две высоты пересекаются,
то две другие высоты также пересекаются.
Решение
Пусть
SO
пл.
ABC ,
CP пл.
SAB ,
K – точка
пересечения этих перпендикуляров. Обе высоты лежат в плоскости
CSK , которая перпендикулярна как к плоскости
ASB , так и к
плоскости
ABC . Поэтому грани
ASB и
ABC пересекаются по ребру,
перпендикулярному к плоскости
SKC :
AB пл.
SKC .
Следовательно,
AB SC (рис.).
Можно показать обратное. Если два противоположных ребра тетраэдра
взаимно перпендикулярны, то высоты тетраэдра, опущенные из концов
одного из них, должны пересечься. Поскольку ребра тетраэдра здесь
равноправны, то из этого следует, что и две другие высоты тетраэдра
пересекутся. Пусть
AB SC . Проведем
SN AB , пл.
CSN
AB , следовательно, пл.
ASB пл.
NSC . Поэтому перпендикуляр к
плоскости
ASB лежит в плоскости
NSC . Плоскость
NSC
перпендикулярна и к плоскости
ABC , в которой также лежит
AB
пл.
NSC . Поэтому и перпендикуляр к плоскости
ABC лежит в
плоскости
NSC . Поскольку две высоты лежат в одной плоскости, то
они пересекутся.
Вместо доказательства обратного предложения можно было
непосредственно его вывести из перпендикулярности ребер
AB и
SC
и того, что высоты, опущенные из точек
A и
B , пересекутся. Для
этого в предыдущем рассуждении необходимо изменить роли рёбер
AB и
SC .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Белорусские республиканские математические олимпиады |
|
олимпиада |
|
Год |
1961 |
|
Номер |
11 |
|
Название |
11-я Белорусская республиканская математическая олимпиада |
|
неизвестно |
|
Название |
Задача 10.3 |
