Задача 109157

Темы:    [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Доказать, что для любого целого n число     можно представить в виде разности     где k – целое.

Решение

Покажем, что если обозначить     то числа a_n и b_n будут искомыми последовательными целыми числами. Для начала покажем, что они будут целыми. Раскрывая скобки в первом выражении, заметим, что коэффициенты при одинаковых степенях    совпадают по модулю, а знаки в первом выражении все положительны, а во втором чередуются. Таким образом, приводя подобные, получим, что     или     В обоих случаях a_n – целое число. Аналогично доказывается, что b_n – целое. Кроме того,

 

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1963
Номер	13
Название	13-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
неизвестно
Название	Задача 11.5