|
|
 |
Условие
Найти такое трёхзначное число A², являющееся точным квадратом, что произведение его цифр равно A – 1.
Решение
Пусть A² = 100x + 10y + z. Поскольку 100 ≤ A² < 1000, то 10 ≤ A < 31. Кроме того, xyz = A – 1. Если z чётно, то A² и A – 1 чётны, чего быть не может. Значит, z нечётно.
Нечётный квадрат может оканчиваться лишь цифрами 1, 5, 9.
1) z = 5. Тогда A – 1 и A² делятся на 5, что невозможно.
2) z = 9. Тогда A – 1 делится на 9. Единственный вариант A = 19. Но при этом A² оканчивается на 1, а не на 9.
3) z = 1. Тогда A оканчивается на 1 или 9. В первом случае xyz делится на 10. Поскольку y чётно (см. задачу 31234), но не равно 0, то x = 5. Но
21² < 500, а 29² > 599.
Во втором случае проверяем квадраты чисел 19 и 29; подходит только 19.
Ответ
361.
Замечания
Можно просто проверить все квадраты нечётных чисел от 11 до 31.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Белорусские республиканские математические олимпиады |
| олимпиада | |
| Название | 15-я Белорусская республиканская математическая олимпиада |
| Год | 1965 |
| Номер | 15 |
| неизвестно | |
| Название | Задача 10.1 |
