Задача 109454

Темы:    [ Инварианты ] [ Раскраски ] [ Четность и нечетность ] [ Пятиугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

В выпуклом пятиугольнике проведены все диагонали. Каждая вершина и каждая точка пересечения диагоналей окрашены в синий цвет. Вася хочет перекрасить эти синие точки в красный цвет. За одну операцию ему разрешается поменять цвет всех окрашенных точек, принадлежащих либо одной из сторон либо одной из диагоналей на противоположный (синие точки становятся красными, а красные – синими). Сможет ли он добиться желаемого, выполнив какое-то количество описанных операций?

Решение

Рассмотрим внутренний пятиугольник, образованный точками пересечений диагоналей исходного пятиугольника (cм. рис.).

Любая из разрешенных операций либо не изменяет цвет вершин этого пятиугольника, либо изменяет цвет ровно двух его вершин. Значит, количество синих вершин внутреннего пятиугольника всегда останется нечётным.

Ответ

Не сможет.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата	2007
класс
Класс	10
задача
Номер	5