|
|
 |
Условие
Дан набор одинаковых правильных пятиугольников, при вершинах каждого из которых записаны натуральные числа от 1 до 5, как показано на рисунке. Пятиугольники можно поворачивать и переворачивать. Их сложили в стопку (вершина к вершине), и оказалось, что при каждой из пяти вершин суммы чисел одинаковы. Сколько пятиугольников могло быть в этой стопке?
Решение
Сложим в стопку два пятиугольника, перевернув при этом один из них, и совместим их следующими цифрами: 1-5, 2-4, 3-3, 4-2 и 5-1. Тогда мы получим стопку, удовлетворяющую условию. Назовём её "двойкой". Сложим в стопку пять пятиугольников, повёрнув их по отношению друг к другу так, чтобы совместились цифры 1-2-3-4-5, 2-3-4-5-1 и так далее. Тогда мы получим стопку, также удовлетворяющую условию. Назовём ее "пятёркой". Любое чётное количество пятиугольников в стопке можно получить, последовательно складывая "двойки". Любое нечётное количество пятиугольников, большее 3, можно получить из одной "пятёрки" и нужного количества "двоек".
Заметим, что стопка из одного пятиугольника условию не удовлетворяет. Докажем, что нельзя составить стопку, удовлетворяющую условию, из трёх пятиугольников.
Первый способ. В каждом пятиугольнике цифры, записанные при соседних вершинах, различаются либо на 1, либо на 4. Предположим, что в стопке из трёх пятиугольников суммы чисел, записанных при двух соседних вершинах, оказались равными, то есть x1 + x2 + x3 = (x1 ± a1) + (x2 ± a2) + (x3 ± a3), где слева записана сумма чисел при одной из вершин, а справа – сумма чисел при соседней вершине (ai может равняться только 1 или 4). Перебором убеждаемся в том, что это равенство верным быть не может (перебор можно сократить, используя идею чётности).
Второй способ. Пусть суммы чисел при всех вершинах равны. Тогда в каждой из них эта сумма равна 9 (утроенное среднее арифметическое чисел от 1 до 5). Поэтому в одной вершине не могут стоять две пятёрки, то есть пятёрки "занимают" три вершины. Две из этих вершин (пусть A и B) обязательно являются соседними. В соседних с A вершинах должны стоять 4 и 1. Но 4 не может стоять в B (иначе сумма трёх чисел в В больше 9), значит, в B стоит 1. По той же причине и в A стоит 1. Значит, и в A, и в В стоят числа {1, 3, 5}, причём тройки стоят в соседних вершинах одного пятиугольника. Противоречие.
Ответ
Любое натуральное число, кроме 1 и 3.
