Задача 109503

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Волчкевич М.А.

В треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность, касающаяся сторон AC, BC и AB в точках M, K и N соответственно. Через точку K провели прямую, перпендикулярную отрезку MN. Она пересекла катет AC в точке X. Докажите, что  CK = AX.

Решение

Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC (см. рис.). Так как треугольник AMN равнобедренный, прямая IA является в нем не только биссектрисой, но и высотой, поэтому  IA ⊥ MN,  то есть  IA || KX  Заметим, что   IK || AC. Значит, четырёхугольник AXKI – параллелограмм, то есть
AX = KI.  Но KIMC – квадрат, откуда  CK = KI = AX.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	70
Год	2007
вариант
Класс	8
задача
Номер	4