Задача 109521
|
|
 |
Условие
Натуральное число n таково, что числа 2n + 1 и 3n + 1 являются квадратами. Может ли при этом число 5n + 3 быть простым?
Решение
Если 2n + 1 = k², 3n + 1 = m², то 5n + 3 = 4(2n + 1) – (3n + 1) = 4k² – m² = (2k + m)(2k – m).
Докажем, что 2k – m ≠ 1. Действительно, в противном случае 5n + 3 = 2m + 1 и
(m – 1)² = m² – (2m + 1) + 2 = (3n + 1) – (5n + 3) + 2 = – 2n < 0, что невозможно).
Ответ
Не может.
