Задача 109526

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Терешин Д.А.

Внутри окружности расположен выпуклый четырехугольник, продолжения сторон которого пересекают ее в точках A₁ , A₂ , B₁ , B₂ , C₁ , C₂ , D₁ и D₂ 960. Докажите, что если A₁B₂=B₁C₂=C₁D₂=D₁A₂ , то четырехугольник, образованный прямыми A₁A₂ , B₁B₂ , C₁C₂ , D₁D₂ , можно вписать в окружность.

Решение

Пусть величины двух противоположных углов четырехугольников, образованного прямыми A₁A₂ , B₁B₂ , C₁C₂ и D₁D₂ , равны α и β . Нам достаточно показать, что α +β =π . Так как хорды A₁B₂ , B₁C₂ , C₁D₂ и D₁A₂ равны, то равны и угловые величины дуг A₁D₁B₂ , B₁A₁C₂ , C₁B₁D₂ , D₁C₁A₂ , которые мы обозначим через γ . Тогда по теореме о величине угла с вершиной вне круга

2α =A₁D₁B₂-A₂B₁=γ -A₂B₁, 2β =C₁B₁D₂-C₂D₁=γ -C₂D₁.
Сложив эти равенства, получим, что
2α +2β =2γ -(A₂B₁+C₂D₁)=2γ -(B₁A₁C₂+D₁C₁A₂-2π)=2π,
следовательно, α +β =π .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1993
Этап
Вариант	5
класс
Класс	9
задача
Номер	93.5.9.6