Задача 109530
|
|
 |
Условие
Докажите, что для любого натурального n > 2 число
делится на 8.
Решение
Утверждение будет доказано, если мы покажем, что при n ≥ 3 справедливо равенство Для этого достаточно показать, что при n ≥ 3 справедливы неравенства
то есть
Правое неравенство следует из того, что n²(n + 2) < (n + ⅔)³ и n(n + 2)² < (n + 4/3)³. Левое неравенство следует из того, что и n(n + 2) > (n + ⅚)² при n > 5/12, то есть при n ≥ 3.
Замечания
1. Правое неравенство можно доказать, воспользовавшись неравенством Коши: и
(неравенства строгие, так как n ≠ n + 2).
2. Утверждение задачи справедливо и при n = 2, что можно проверить непосредственно.
