|
|
 |
Условие
В правильном (6n+1)-угольнике K вершин покрашено в красный цвет, а остальные – в синий.
Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.
Решение
Будем для краткости называть отрезками стороны и диагонали (6n+1)-угольника M, а треугольниками – равнобедренные треугольники с вершинами в вершинах M. Заметим, что каждый отрезок принадлежит ровно трём различным треугольникам (этот факт верен только при условии, что число сторон многоугольника имеет при делении на 6 остаток 1 или 5). Обозначим через NC, NCK и NK число отрезков, концы которых окрашены в синий, синий и красный, красный цвета соответственно, а через NCCC, NCCK, NCKK и NKKK – число треугольников, у которых в синий цвет окрашены 3, 2, 1 и 0 вершин соответственно.
Тогда NC = 3NCCC + NCCK, так как каждый отрезок принадлежит трём треугольникам, в треугольниках с тремя синими вершинами три стороны с двумя синими концами, в треугольнике с двумя синими вершинами одна такая сторона, а в треугольниках с меньшим числом синих вершин таких сторон нет.
Аналогично доказываются равенства 3NKC = 2NCCK + 2NCKK и 3NK = NCKK + 3NKKK.
Из этих равенств следует, что NCCC + NKKK = NK + NC – ½ NKC = ½ (K(K – 1) + C(C – 1) – KC), где C = 6n + 1 – K – число синих вершин. Это и доказывает утверждение задачи.
