Задача 109566

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Калинин А.

Окружности S₁ и S₂ касаются внешним образом в точке F . Прямая l касается S₁ и S₂ в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная прямой l , касается S₂ в точке C и пересекает S₁ в двух точках. Докажите, что точки A , F и C лежат на одной прямой.

Решение

Решение I. Так как касательные к окружности S₂ в точках B и C параллельны, то BC – ее диаметр, и BFC=90^o . Докажем, что и AFB=90^o . Проведем через точку F общую касательную к окружностям (рис), пусть она пересекает прямую l в точке K . Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что треугольники AKF и BKF равнобедренные. Следовательно,
AFB= AFK+ KFB= FAB+ FBA==90^o.
Решение II. Рассмотрим гомотетию с центром F и коэффициентом, равным - , где r₁ и r₂ – радиусы окружностей S₁ и S₂ . При этой гомотетии S₁ переходит в S₂ , а прямая l – касательная к S₁ – переходит в параллельную прямую – касательную к S₂ . Следовательно, точка A переходит в точку C , поэтому точка F лежит на отрезке AC .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1994
Этап
Вариант	5
класс
Класс	9
задача
Номер	94.5.9.2