|
|
 |
Условие
На столе лежат три кучки спичек. В первой кучке находится 100 спичек, во второй – 200, а в третьей – 300. Двое играют в такую игру. Ходят по очереди, за один ход игрок должен убрать одну из кучек, а любую из оставшихся разделить на две непустые части. Проигравшим считается тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнер?
Решение
Пусть перед каким-то ходом начинающего количества спичек на столе имеют вид 2na, 2nb и 2mc, где 0 ≤ n < m, а числа a, b и c нечётны (назовём такую позицию хорошей). Тогда он своим ходом убирает кучку из 2na спичек, а кучку из 2mc спичек делит на кучки из 2n и 2n(2m–n c – 1) спичек. После этого количества спичек в кучках будут иметь вид 2na', 2nb', 2nc', где a', b' и c' – нечётные числа.
Если это позиция (1, 1, 1), то партнер проиграл.
В противном случае можно считать, что второй игрок своим ходом убирает кучку из 2na' спичек, а кучку из 2nb' спичек делит на две кучки – из 2ku и 2lv спичек, где u и v – нечётные числа и k ≥ l. Тогда 2nb' = 2ku + 2lv. Если при этом k < n, то k = l < n, а если k > n, то l = n; случай k = n невозможен. Таким образом, начинающий снова окажется в хорошей позиции.
Поскольку исходная позиция – хорошая: 100 = 2²·25, 300 = 2²·75, 200 = 2³·25, то при такой стратегии начинающий всегда будет получать хорошую позицию, то есть у него всегда будет ход.
Ответ
Начинающий.
