|
|
 |
Условие
Найдите все такие натуральные n, что при некоторых взаимно простых x и y и натуральном k > 1, выполняется равенство 3n = xk + yk.
Решение
Ясно, что ни одно из чисел x, y не кратно 3. Пусть x > y.
Если k чётно, то xk и yk
при делении на 3 дают в остатке 1, а значит, их сумма не является степенью тройки.
Пусть k нечётно. Тогда согласно задаче 109633 k – степень тройки. После соответствующей замены переменных получим 3n = u³ + v³.
Имеем (u + v)(u² – uv + vk) = 3n, u + v = 3m.
Если u + v = 3, то u = 2, v = 1 (или наоборот), что даёт решение n = 2.
Пусть u + v ≥ 9. Тогда u² – uv + v² ≥ ¼ (u + v)² > u + v (достаточно раскрыть скобки). Значит, u² – uv + v² делится на u + v (так как оба числа – степени тройки). Следовательно, 3uv = (u + v)² – (u² – uv + v²) делится на u + v. Но u, v не кратны 3, поэтому 3uv не делится на 9. Противоречие.
Ответ
n = 2.
