Задача 109632
|
|
 |
Условие
Центры O1 , O2 и O3 трех непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек O1 , O2 и O3 проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.
Решение
Рис. 1
Введем обозначения так, как показано на рис. 1. Так как данные окружности имеют одинаковые радиусы, то X1O2=O1Y2 , Y1O3=O2Z2 , Z1O1=O3X2, или X1A+AB+BO2=O1B+BC+CY2 , Y1C+CD+DO3=O2D+DE+EZ2, Z1E+EF+FO1=O3F+FA+AX2.
Сложив полученные равенства и заметив, что
(как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки) и
(так как радиусы данных окружностей равны), получим: AB+CD+EF=BC+DE+FA , что и требовалось доказать.
Замечание 1. Аналогичное утверждение справедливо и для невыпуклого шестиугольника в случае, изображенном на рис. 2.
Замечание 2. В обозначениях рис. 1 и рис. 2 справедливо равенство AB· CD· EF=BC· DE· FA , равносильное тому, что прямые AD , BE и CF пересекаются в одной точке.
Замечание 3. Предыдущее утверждение остается справедливым, даже если отказаться от равенства данных окружностей (см. рис. 3).
