|
|
 |
Условие
Найдите все такие тройки натуральных чисел m, n и l, что m + n = (НОД(m, n))², m + l = (НОД(m, l))², n + l = (НОД(n, l))².
Решение
Положим d = НОД(m, n, l). Пусть m = dm1, n = dn1, l = dl1. Тогда где dmn = НОД(m1, n1); откуда
Складывая это равенство с двумя аналогичными, получаем
Покажем, что d взаимно просто с суммой m1 + n1 + l1. В самом деле, если у d и этой суммы есть общий делитель δ > 1, то он будет общим делителем всех чисел m1, n1 и l1 (так как сумма любых двух из них делится на d).
Но тогда dδ – общий делитель чисел m, n и l, что противоречит определению числа d.
Следовательно, d является делителем числа 2.
Заметим, что числа dmn, dnl, dml попарно взаимно просты (иначе у чисел m1, n1, l1 нашелся бы общий делитель, не равный 1). Поэтому m1 = dmndmlm2,
n1 = dmndnln2, l1 = dnldmll2, где m2, n2, l2 – натуральные числа. В таких обозначениях первое из исходных уравнений приобретает вид dmlm2 + dnln2 = ddmn.
Не умаляя общности, мы можем считать, что число dmn – наименьшее из чисел dmn, dml и dnl. Имеем: dmlm2 + dnln2 ≥ dml + dnl ≥ 2dmn ≥ ddmn (так как
d ≤ 2). Итак, все неравенства являются на самом деле равенствами, откуда m2 = n2 = 1, d = 2 и dml = dmn = dnl. Но числа dml, dmn, dnl попарно взаимно просты,
следовательно, они равны 1, и мы нашли единственное решение m = n = l = 2.
Ответ
(2, 2, 2).
