ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109664
Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри параболы  y = x²  расположены несовпадающие окружности ω1, ω2, ω3, ... так, что при каждом n > 1 окружность ωn касается ветвей параболы и внешним образом окружности ωn–1 (см. рис.). Найдите радиус окружности σ1998, если известно, что диаметр ω1 равен 1 и она касается параболы в её вершине.


Решение

  Докажем по индукции, что радиус rn окружности ωn равен  n – ½,  а её центр – точка  (0, n² – n + ½).  База дана в условии.
  Шаг индукции. Верхняя точка окружности ωn имеет ординату  n² – n + ½ + n – ½ = n².  Поэтому центр окружности ωn+1 радиуса  n + ½,  касающейся σn в верхней точке имеет координаты  (0, n² + n + ½).  Значит, уравнение окружности σn+1 имеет вид
x² + (y – n² – n – ½)² = (n + ½)²  или  x² + (y – n²)² – 2(y – n²)(n + ½) = 0.  Подставляя в него y вместо x², получим
y – n² + (y – n²)² – 2(y – n²)(n + ½) + n² = 0,  то есть  (y – n² – n)² = 0.  Таким образом, это уравнение имеет единственное решение  y = n² + n.  Следовательно, окружность ωn+1 имеет с параболой  y = x²  ровно две общие точки (с указанной ординатой). Это и значит, что она касается параболы.


Ответ

r1998 = 1997,5.

Замечания

Аналогичная задача для 1987 окружностей предлагалась на Всероссийской студенческой олимпиаде 1987 г.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 98.5.11.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .