Условие
В тетраэдр
ABCD , длины всех ребер которого не более 100, можно поместить
две непересекающиеся сферы диаметра 1. Докажите, что в него можно поместить
одну сферу диаметра 1,01.
Решение
Рассмотрим множества
M центров сфер диаметра 1, лежащих в данном
тетраэдре
T . Так как
M – множество точек, удаленных от всех граней
T не менее, чем на
1
/2
, то
M – это тетраэдр с гранями,
параллельными граням тетраэдра
T , т.е.
M и
T гомотетичны.
Центры вписанных сфер обоих тетраэдров совпадают, поэтому коэффициент
k гомотетии равен
, где
r – радиус сферы,
вписанной в
T .
С другой стороны, две сферы единичного диаметра не пересекаются, поэтому
расстояние между их центрами не меньше 1, значит, длина одного из ребер
тетраэдра
M , содержащего эти центры, не меньше 1. Отсюда следует, что
k
(длины ребер тетраэдра
T не больше 100), т.е.
1
-
, откуда
2
r
>1
,01
.
Итак, диаметр сферы, вписанной в
T , больше 1,01, т.е. в качестве
искомой можно выбрать сферу, вписанную в
T .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
|
год |
|
Год |
1998 |
|
Этап |
|
Вариант |
5 |
|
Класс |
|
Класс |
11 |
|
задача |
|
Номер |
98.5.11.7 |
