Задача 109716

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Мусин О.

Пусть  –1 < x₁ < x₂ < ... < x_n < 1  и  
Докажите, что если  y₁ < y₂ < ... < y_n,  то  

Решение

Пусть     При  –1 < x_i ≤ 0  имеем   t_i ≥ 0;  если же  0 < x_i < 1,  то  t_i < 0.  Неравенство, которое нужно доказать, перепишем в виде  
Без ограничения общности можно считать, что  y₁ > 0  (поскольку  Σ (y_i + c)t_i = Σ y_it_i + cΣ t_i = Σ y_it_i).  Пусть число k таково, что  x_k ≤ 0,   x_k+1 > 0.  Тогда
t₁, ..., t_k ≥ 0,  t_k+1, ..., t_n < 0,  и  

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2000
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	00.5.10.2