Задача 109723
|
|
 |
Условие
Различные числа a, b и c таковы, что уравнения x² + ax + 1 = 0 и x² + bx + c = 0 имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения x² + x + a = 0 и x² + cx + b = 0. Найдите сумму a + b + c.
Решение
Общий корень x1 первых двух уравнений удовлетворяет уравнению (a – b)x1 + (1 – c) = 0, то есть x1 = a–b/c–1. Аналогично общий корень x2 последних двух уравнений равен c–1/a–b. Поскольку x1x2 = 1, то x2 – корень первого уравнения, то есть – общий корень уравнений x² + ax + 1 = 0 и x² + x + a = 0. Отсюда (a – 1)(x2 – 1) = 0. Но при a = 1 эти уравнения не имеют действительных корней. Значит, x2 = 1, тогда a = – 2, b + c = – 1.
Ответ
–3.
