Задача 109732

Темы:    [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Дольников В.Л.

На плоскости даны два таких конечных набора P₁ и P₂ выпуклых многоугольников, что любые два многоугольника из разных наборов имеют общую точку и в каждом из двух наборов P₁ и P₂ есть пара непересекающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.

Решение

Для каждой из прямых, пересекающих все многоугольники набора P₁ , проведем параллельную ей прямую через центр O некоторой окружности S . Обозначим через S1 множество точек пересечения этих прямых с S . Определим аналогично для набора P₂ множество S₂ S .

Покажем, что S₁ S₂=S . Спроектируем многоугольники наборов P₁ и P₂ на произвольную прямую l (см. рис. 1) . Из условия следует, что при этом получатся два набора отрезков P₁' и P₂' таких, что любые два отрезка из разных наборов имеют общую точку.

Возьмем отрезок I , левый конец A которого является среди полученных отрезков самым правым. Пусть, например, I принадлежит P₁' , тогда все отрезки P₂' содержат точку A . Следовательно, прямая m , проходящая через точку A перпендикулярно l , пересекает все многоугольники набора P2 . В силу произвольности выбора прямой l получаем, что S₁ S₂=S .

          
Рис. 1                       Рис. 2
Очевидно, все отрезки в P₁' имеют общую точку и все отрезки в P₂' имеют общую точку тогда и только тогда, когда точки окружности S , имеющие направление m , принадлежат как S1 , так и S2 .

Но если все отрезки из P₁' имеют общую точку и все отрезки из P₂' имеют общую точку, то любые два отрезка из P₁' P₂' имеют общую точку. Тогда все отрезки из P₁' P₂' имеют общую точку.

Следовательно, прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно l , пересекает все многоугольники наборов P₁ и P₂ . Таким образом, утверждение задачи доказано, если S₁ S₂ .

Покажем, что S₁ S₂ . В самом деле, легко видеть, что множества S₁ и S₂ состоят из конечного числа замкнутых дуг окружности (например, если число элементов в P₁ не больше n , то дуг не больше 2C_n² , так как конец каждой дуги соответствует непересекающимся многоугольникам; см. рис. 2). Так как в каждом множестве есть пара непересекающихся многоугольников, то, отделяя эти многоугольники прямой, мы видим, что S₁ S и S₂ S .

Если S₁ S₂= , то S₁ S₂ состоит из попарно непересекающихся замкнутых дуг. Возьмем конец одной дуги, тогда между ним и ближайшим концом дуги по часовой стрелке нет точек S₁ S₂ , что противоречит тому, что S₁ S₂=S .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2001
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	01.5.11.3