Задача 109741

Темы:    [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Терешин Д.А.

Многочлен  P(x) = x³ + ax² + bx + c  имеет три различных действительных корня, а многочлен P(Q(x)), где  Q(x) = x² + x + 2001,  действительных корней не имеет. Докажите, что  P(2001) > ¹/₆₄.

Решение

По условию  P(x) = (x – x₁)(x – x₂)(x – x₃),  следовательно,  P(Q(x)) = (Q(x) – x₁)(Q(x) – x₂)(Q(x) – x₃),  где  Q(x) – x_i ≠ 0,  i = 1, 2, 3,  то есть
D_i = 1 – 4(2001 – x_i) < 0.  Перемножив полученные неравенства  2001 – x_i > ¼,  получаем  P(2001) = (2001 – x₁)(2001 – x₂)(2001 – x₃) > ¹/₆₄.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2001
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	01.5.10.5