|
|
 |
Условие
Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечётного числа, во вторую – числа, для которых ближайшими являются квадраты чётных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?
Решение
Разобьём числа от n² до (n + 1)² – 1 на две группы An = {n², n² + 1, ..., n² + n} и Bn = {n² + n + 1, n² + n + 2, ..., n² + 2n}.
Для чисел группы An ближайшим квадратом является n², для Bn ближайшим является (n + 1)² – квадрат другой чётности.
Суммы чисел в группах An и Bn обозначим S(An) и S(Bn) соответственно. Из равенства
S(Bn) – S(An) = ((n² + n + 1) – (n² + 1)) + ((n² + n + 2) – (n² + 2)) + ... + ((n² + 2n) – (n² + n)) – n² = n·n – n² = 0 следует, что суммы чисел в группах An и Bn равны.
Осталось заметить, что все множество чисел от 1 до 999999 разбивается на непересекающиеся пары A1 и B1, A2 и B2, A999 и B999.
Ответ
Эти суммы одинаковы.
