|
|
 |
Условие
Два многочлена P(x) = x4 + ax³ + bx² + cx + d и Q(x) = x² + px + q принимают отрицательные значения на некотором интервале I длины более 2, а вне I – неотрицательны. Докажите, что найдётся такая точка x0, что P(x0) < Q(x0).
Решение
Из условия следует, что Q(x) = (x – x1)(x – x2) и P(x) = (x – x1)(x – x2)(x² + Ax + B), где x2 – x1 > 2, а трёхчлен x² + Ax + B не имеет корней или имеет кратный корень, совпадающий с x1 или x2.
Предположим, что P(x) – Q(x) = (x – x1)(x – x2)(x² + Ax + B – 1) ≥ 0 при всех x. Это выполняется только в том случае, когда
x² + Ax + (B – 1) = (x – x1)(x – x2), так как в точках x1 и x2 не будет происходить перемена знака многочлена P(x) – Q(x) только при чётной кратности корней x1 и x2. Значит, A = – (x1 + x2), B – 1 = x1x2. Поэтому дискриминант трёхчлена x² + Ax + B, равный (x1 + x2)² – 4(x1x2 + 1) = (x1 – x2)² – 4, положителен, то есть он имеет два корня. Противоречие.
