ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 109754
УсловиеДокажите, что для всех x(0;) при n>m , где n,m – натуральные, справедливо неравенствоРешениеПервое решение. Достаточно доказать это неравенство при 0<x< (при x= оно очевидно, при <x< получается заменой y=-x ). При k2 имеем Поэтому неравенство сводится к случаю n=m+1 , за исключением n=3 . Кроме того, 1ex при n k>1 . Действительно, приведя к общему знаменателю, получаем неравенство которое очевидно. Поэтому неравенство сводится к случаям n=3 , m=1 и n=2 , m=1 . Докажем их: поскольку cos x sin x= sin2x ; ибо sin x+ cos x=, sin(x+) . Второе решение. Опять же, неравенство достаточно доказать для 0<x< . Рассмотрим f(y)= cosyx- sinyx , где 0<x< , y0 . Имеем: f(0)=0 , f(y)>0 при y>0 , f(y)0 при y . Далее, поэтому f'(y) имеет единственный корень при y>0 , так как функция g(y)= tgyx монотонна. Из f(2)=f(2)( cos2x+ sin2x)=f(4) следует, что f'(2)>0 , f'(4)<0 . Отсюда, при n>m3 получаем неравенство Если же m2 , то из соотношений f(1) f(2) f(3) f(n) при n>3 видно, что достаточно доказать неравенство 3f(1) 2f(3) , которое следует из sin x cos x= , поскольку f(3)=f(1)(1+ sin x cos x)f(1) . Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|