ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109756
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Признаки делимости на 3 и 9 ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы 2002 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр и в виде суммы 2003 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр.


Решение

  Пусть для натурального числа n имеют место указанные представления:  n = a1 + ... + a2002 = b1 + ... + b2003.
  Воспользуемся тем, что каждое из чисел a1, a2002 даёт такой же остаток при делении на 9, что и сумма цифр; обозначим этот остаток через r  (0 ≤ r ≤ 8),  а соответствующий остаток для чисел b1, ..., b2003 – через s  (0 ≤ s ≤ 8).  Тогда числа  n – 2002r  и  n – 2003s  кратны 9, а значит, и число
(n – 2002r) – (n – 2003s) = 2003s – 2002r = 2003(r + s) – 4005r  кратно 9. Число 4005r также кратно 9, а число 2003 – взаимно просто с 9; отсюда следует, что число  r + s  кратно 9. Если при этом  r = s = 0,  то  n ≥ 9·2003  (поскольку b1, ..., b2003 делятся на 9). Если же  r ≠ 0,  то  r + s = 9,  и потому  r ≥ 5  или  s ≥ 5  для числа n получаются неравенства  n ≥ 5·2002  или  n ≥ 5·2003  соответственно. А так как  10010 = 5·2002 = 4·2002 + 2002·1,  и числа 4 и 2002 имеют одинаковую сумму цифр, то число 10010 – искомое.


Ответ

10010.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2002
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 02.5.11.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .