ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 109758
УсловиеДокажите, что существует бесконечно много натуральных n, для которых числитель несократимой дроби, равной 1 + ½ + ... + 1/n, не является степенью простого числа с натуральным показателем. Решение Положим 1 + ½ + ... + 1/n = S(n) = A(n)/B(n), где A(n) и B(n) взаимно просты. Заметим, что B(n) > n/2. Действительно, наибольшая степень двойки, не превосходящая n, является делителем ровно одного из чисел 1, 2, ..., n и потому является делителем знаменателя суммы S(n). Докажем, по индукции, что числитель A(pn – 1) также кратен p (и, стало быть, является степенью p) при всех натуральных n. База уже доказана. Положим Если n > k, то числитель дроби Hp(n) делится на pk, но не на pk+1 (ибо Hp(n) – S(p – 1) – дробь, числитель которой делится на pn). Отсюда получаем, что оба числителя A(pn – 1) и A(pn – p) делятся на p, но один из них не делится на pk+1. Значит, одна из дробей S(pn – 1) и S(pn – p) не превосходит при n = k + 2. Противоречие. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|