Задача 109803
|
|
 |
Условие
Четырёхугольник ABCD является одновременно и вписанным, и описанным, причём вписанная в ABCD окружность касается его сторон AB, BC, CD и AD в точках K, L, M, N соответственно. Биссектрисы внешних углов A и B четырёхугольника пересекаются в точке K', внешних углов B и C – в точке L', внешних углов C и D – в точке M', внешних углов D и A – в точке N'. Докажите, что прямые KK', LL', MM' и NN' проходят через одну точку.
Решение
Если ABCD– трапеция (скажем, AB || CD), то прямые L'L и N'N имеют общую точку пересечения с серединным перпендикуляром к AB, на котором лежат K, K', M и M'.
Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке E,
а прямые BC и AD – в точке F (см. рис.).
Так как четырёхугольник ABCD – вписанный и FP – биссектриса угла CFD, то ∠FAP = ∠FCQ и ∠PFA = ∠CFQ, то есть треугольники AFP и CFQ подобны. Значит, ∠EPQ = ∠FPA = ∠FQC = ∠EQP. Следовательно, биссектриса угла AED является высотой равнобедренного треугольника EPQ. Поскольку L' и N' лежат на этой биссектрисе, то K'M' ⊥ L'N'. Но биссектриса угла AED перпендикулярна KM, поэтому KM || K'M'. Аналогично LN || L'N'. Прямая KL перпендикулярна биссектрисе угла ABC, а значит, параллельна биссектрисе внешнего угла B, следовательно, K'L' || KL (аналогично L'M' || LM). Таким образом, у треугольников KLM и K'L'M' соответствующие стороны параллельны, а значит, они гомотетичны.
При этой гомотетии K переходит в K', а M – в M', и так как параллельные прямые переходят в параллельные, то прямые KN и MN переходят в K'N' и M'N' соответственно, значит, N переходит в N'. Следовательно, прямые KK', LL', MM', NN' проходят через центр гомотетии.
