|
|
 |
Условие
Найдите наименьшее натуральное число, не представимое в виде , где a, b, c, d – натуральные числа.
Решение
Предположим, что 11 = . . Не уменьшая общности, положим a > b, c > d. Обозначим m = a – b, n = c – d, k = b – d. Получаем
11(2n – 1) = 2k(2m – 1). Так как в левой части целое нечётное число, то k = 0. Заметим, что n = 1 не подходит. Если же m > n > 1, то 2m – 1 и 2n – 1 дают остаток 3 при делении на 4. Значит, левая и правая части дают соответственно остатки 1 и 3 при делении на 4. Противоречие.
Ответ
11.
Замечания
Можно прийти к противоречию по-другому. Из задачи 60507 а) следует, что 2m – 1 делится на 2n – 1 тогда и только тогда, когда m делится на n. Значит, надо доказать, что 11 ≠ 1 + 2n + 22n + ... . Но последнее очевидно, поскольку 11 не равно ни одному из чисел 1 + 2, 1 + 2 + 4, 1 + 4, 1 + 8.
