|
|
 |
Условие
Натуральные числа x и y таковы, что 2x² – 1 = y15. Докажите, что если x > 1, то x делится на 5.
Решение
Далее в решении латинские буквы обозначают целые числа.
Заметим, что НОД(t + 1, t² – t + 1) равен 1 или 3 (это следует из равенства t² – t + 1 = (t – 2)(t + 1) + 3.
Аналогично из равенства t4 – t³ + t² – t + 1 = (t³ – 2t² + 3t – 4)(t + 1) + 5 следует, что НОД(t + 1, t4 – t³ + t² – t + 1) равен 1 или 5.
Обозначим t = y5, тогда t³ + 1 = (t + 1)(t² – t + 1) = 2x². Так как число t² – t + 1 нечётно, то либо t + 1 = 2u², t² – t + 1 = v², либо t + 1 = 6u²,
t² – t + 1 = 3v². По условию x > 1, значит, t > 1 и (t – 1)² < t² – t + 1 < t². Следовательно, равенство t² – t + 1 = v² выполняться не может. Поэтому
t + 1 = y5 + 1 = 6u².
С другой стороны, (y5 + 1) – (y³ + 1) = y³(y – 1)(y + 1) делится на (y – 1)y(y + 1) и поэтому делится на 3. Таким образом, y³ + 1 кратно 3.
Положим z = y³, тогда z5 + 1 = (z + 1)(z4 – z³ + z² – z + 1) = 2x². Если z4 – z³ + z² – z + 1 делится на 5, то все доказано. В противном случае множители в средней части равенства взаимно просты. Поскольку z4 – z³ + z² – z + 1 нечётно, z + 1 = 2a², z4 – z³ + z² – z + 1 = b². Но так как z ≡ –1 (mod 3), то
z4 – z³ + z² – z + 1 ≡ 2 (mod 3) и не может быть полным квадратом. Противоречие.
