|
|
 |
Условие
Леша поставил в клетки таблицы 22×22 натуральные числа от 1 до 22².
Верно ли, что Олег может выбрать такие две клетки, соседние по стороне или вершине, что сумма чисел, стоящих в этих клетках, делится на 4?
Решение
Предположим, что Олег не сможет выбрать такие две клетки.
Заменим все числа на их остатки при делении на 4. Тогда в таблице стоит по 121 чисел 0, 1, 2 и 3. Разобьём таблицу на 121 квадратик 2×2. В каждом таком квадратике может стоять не более одного нуля и не более одной двойки. Но так как количество квадратиков равно количеству нулей и количеству двоек, то в каждом квадратике стоит ровно один нуль и ровно одна двойка.
Заметим, что в каждом квадратике два оставшихся числа оба должны быть либо
единицами, либо тройками. Но тогда количество единиц чётно, однако их 121. Противоречие.
Ответ
Верно.
