|
|
 |
Условие
Известно, что многочлен (x + 1)n – 1 делится на некоторый многочлен P(x) = xk + ck–1xk–1 + ck–2xk–2 + ... + c1x + c0 чётной степени k, у которого все коэффициенты – целые нечётные числа. Докажите, что n делится на k + 1.
Решение
Перепишем условие задачи в виде равенства (x + 1)n – 1 = P(x)Q(x). Будем называть два многочлена f и g похожими и обозначать f ∼ g, если коэффициенты при одинаковых степенях у многочленов f и g имеют одинаковую чётность. Тогда, если в верном равенстве мы заменим некоторые коэффициенты одного или нескольких многочленов на их остатки по модулю 2, то мы получим два похожих многочлена. Следовательно,
(x + 1)n – 1 ∼ (xk + xk–1 + ... + 1)Q(x). Заменив в последнем равенстве переменную x на 1/x и домножив обе части на xn, получим
(x + 1)n – xn ∼ (xk + xk–1 + ... + 1)xn–kQ(1/x). При этом xn–kQ(1/x) – некоторый многочлен от x степени, не превосходящей n – k.
Вычитая, имеем xn – 1 ∼ (xk + xk–1 + ... + 1)R(x) для некоторого многочлена R. Пусть n не делится на k + 1, тогда n = q(k + 1) + r, 0 < r < k + 1. Поэтому многочлен xn – xr = xr(xq(k+1) – 1) делится на xk+1 – 1 ∼ (xk + ... + 1)(x – 1), а значит,
xr – 1 = (xn – 1) – (xn – xr) ∼ (xk + ... + 1)R1(x) для некоторого многочлена R1. Это невозможно, ибо степень многочлена xr – 1 не больше степени многочлена xk + ... + 1, и они непохожи.
