|
|
 |
Условие
Сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел оказалась кубом натурального числа. Докажите, что среднее из этих трёх чисел делится на 4.
Решение
В решении латинскими буквами везде обозначены натуральные числа.
По условию, (x – 1)³ + x³ + (x + 1)³ = y³, или 3x(x² + 2) = y³. Значит, y делится на 3, y = 3z и x(x² + 2) = 9z³. Очевидно, НОД(x, x² + 2) ≤ 2.
Пусть НОД(x, x² + 2) = 1. Тогда либо x = 9u³ и x² + 2 = v³, либо x = u³, x² + 2 = 9v³ при некоторых натуральных u, v. В первом случае 81u6 + 2 = v³, что невозможно, так как куб целого числа при делении на 9 даёт остаток 0 или ±1. Аналогично второе равенство влечёт, что u6 + 2 = 9v³, что невозможно по тем же причинам.
Итак, НОД(x, x² + 2) = 2, x(x² + 2) = 9z³. Тогда x (и, следовательно, z) чётно, поэтому x(x² + 2) делится на 8. Поскольку x² + 2 не делится на 4, получаем, что x делится на 4.
