Задача 109854

Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Мурашкин М.В.

Пусть a₁, a₂, ..., a₁₀ – натуральные числа,  a₁ < a₂ < ... < a₁₀.  Пусть b_k – наибольший делитель a_k, меньший a_k. Оказалось, что b₁ > b₂ > ... > b₁₀.
Докажите, что  a₁₀ > 500.

Решение

  Заметим, что  b_k = ^a_k/_ck ,  где c_k – наименьший простой делитель a_k.  Из неравенств  a_i < a_i+1,  b_i > b_i+1  следует, что  c_i < c_i+1,  то есть  c₁ < c₂ < ... < c₁₀.  Значит,  c₉ ≥ 23,  так как 23 – девятое по счёту простое число.
  Так как  b₉ > b₁₀,  то  b₉ > 1  и  b₉ ≥ c₉.  Отсюда  

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	06.5.9.5
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	06.5.10.5