Задача 109858

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Куб ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Авторы: Терешин Д.А., Карасев Р.

В прямоугольном параллелепипеде одно из сечений является правильным шестиугольником. Докажите, что этот параллелепипед – куб.

Решение

  Достроим шестиугольник до правильного треугольника (см. рис.).

  Вершины K, L и M этого треугольника лежат на продолжениях рёбер AB, AA₁ и AD параллелепипеда. Из равенства прямоугольных треугольников KLA и MLA  (KL = LM,  AL – общий катет) следует, что  KA = MA.  Аналогично  KA = LA.  Так как  PQ  = ⅓ KM,  то из подобия треугольников LPQ и LKM, LPA₁ и LKA следует, что  AA₁ = ⅔ AL.  Аналогично  AB = ⅓ AK  и  AD = ⅔ AM.  Итак,  AB = AA₁ = AD  и, значит, параллелепипед – куб.

Замечания

Если параллелепипед не прямоугольный, то он может и не быть кубом. Например, можно рассмотреть параллелепипед, получаемый вытягиванием куба вдоль его большой диагонали, и перпендикулярное этой диагонали сечение.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1995
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	95.4.11.2