Задача 109864
|
|
 |
Условие
Натуральные числа m и n таковы, что НОК(m, n) + НОД(m, n) = m + n. Докажите, что одно из чисел m или n делится на другое.
Решение 1
Положим m = kd, n = ld, где d = НОД(m, n). Тогда НОК(m, n) = kld и, значит, kld + d = kd + ld. Отсюда (k – 1)(l – 1) = 0, то есть k = 1 или l = 1. В первом случае m = d, и n делится на m; во втором случае – наоборот.
Решение 2
Поскольку НОК(m, n)·НОД(m, n) = ab, пары (m, n) и (НОД(m, n), НОК(m, n)) являются парами решений квадратного уравнения x² – (m + n)x + mn = 0, то есть совпадают. Утверждение задачи теперь следует из того, что НОК(m, n) кратно НОД(m, n).
