Задача 109880

Темы:    [ Длины сторон (неравенства) ] [ Теорема косинусов ] [ Покрытия ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Дольников В.Л.

Длина наибольшей стороны треугольника равна 1. Докажите, что три круга радиуса с центрами в вершинах покрывают весь треугольник.

Решение

Предположим противное, что точка O треугольника не покрыта кругами. Тогда OA > , OB > , OC > и один из углов AOB , BOC , AOC не меньше 120^o . Пусть это угол AOC . Тогда, по теореме косинусов, имеем

AC2 = OA2 + OC2 - 2OA · OC · cos α .


Но - cos α cos 60^o , так как α 120^o и, следовательно,
AC2 = OA2 + OC2 - 2OA · OC · cos α OA2 + OC2 + OA · OC > + + = 1.
Следовательно AC > 1 , и полученное противоречие доказывает утверждение.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1996
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	96.4.11.3