Задача 109925
|
|
 |
Условие
Дан набор, состоящий из таких 1997 чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор.
Докажите, что произведение чисел в наборе равно 0.
Решение
Пусть сумма чисел в наборе равна M, тогда число a из набора
заменяется на число b = M – a. Просуммируем эти равенства для всех a:
b1 + ... + b1997 = 1997M – (a1 + ... + a1997), откуда M = 0, так как b1 + ... + b1997 = a1 + ... + a1997 = M. Значит, для любого a число b = – a также входит в набор и все числа разбиваются на пары (a, – a). Из нечётности их количества следует, что в набор входит число a = – a, то есть a = 0.
