Задача 109946

Темы:    [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

Решите уравнение  {(x + 1)³} = x³.

Решение

Из определения дробной части следует, что  0 ≤ x³ < 1,  то есть  0 ≤ x < 1.  Равенство  {a + b} = a  выполняется тогда и только тогда, когда b – целое число. Поэтому число  n = 3x² + 3x  – целое. Функция  y = 3x³ + 3x  возрастает на  [0, 1],  y(0) = 0,  y(1) = 6,  поэтому  0 ≤ n < 6,  и из корней уравнения
3x² + 3x – n = 0  выбирается лежащий на промежутке  [0, 1).

Ответ

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1998
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	98.4.10.5